Question

20．若不等式|2x-3|＜4與不等式x²+px+q＜0的解集相同．
（Ⅰ）求實數(shù)p，q值；
（Ⅱ）若實數(shù)a，b，c∈R₊，滿足a+b+c=2p-4q，求證：$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意不等式x²+px+q＜0的解集為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），利用韋達(dá)定理，從而可以求得p與q的值．
（Ⅱ）a+b+c=2p-4q=1，由柯西不等式得（$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$）²≤（a+b+c）（1+1+1），代入已知a+b+c=1即得；

解答 解：（Ⅰ）∵不等式-4＜2x-3＜4的解集為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），
∴不等式x²+px+q＜0的解集是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{7}{2}$=-p，（-$\frac{1}{2}$）×$\frac{7}{2}$=q
∴p=-3，q=-$\frac{7}{4}$；
（Ⅱ）a+b+c=2p-4q=1，
由柯西不等式得（$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$）²≤（a+b+c）（1+1+1）
代入已知a+b+c=1，
∴（$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$）²≤3，
∴$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)=b=c=1，取等號．

點評 本題是一道考查逆向思維的題目，考查了一般形式的柯西不等式．證明不等式時，關(guān)鍵是如何湊成能利用一般形式的柯西不等式的形式，注意重要不等式中等號成立的條件．