Question

9．已知x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，若x+2y＞a²+8a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 x+2y＞a²+8a恒成立，即a²+8a＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，
∴x+2y=（x+2y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）=2+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$+2≥8（當(dāng)且僅當(dāng)x=4，y=2時取到等號）．
∴（x+2y）_min=8．
∴x+2y＞a²+8a恒成立，即a²+8a＜（x+2y）_min=8，
解得：-4-2$\sqrt{6}$＜a＜-4+2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式與函數(shù)恒成立問題，將問題轉(zhuǎn)化為求x+2y的最小值是關(guān)鍵，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化與應(yīng)用基本不等式的能力，屬于中檔題．