Question

（本題滿分15分）如圖，點(diǎn)為圓形紙片內(nèi)不同于圓心的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓周上，將紙片折起，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，設(shè)折痕交線段于點(diǎn).現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)圓：,記點(diǎn)的軌跡為曲線.
⑴證明曲線是橢圓，并寫出當(dāng)時(shí)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
⑵設(shè)直線過(guò)點(diǎn)和橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若橢圓的離心率，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

（本題滿分15分）
解：（1）連結(jié)NA, 由題意知，直線m是線段MA的中垂線，

∴NA="NM," 而圓C的半徑為    ……………………2分
∴NC+NA=NC+NM=CM=(常數(shù))
∴動(dòng)點(diǎn)N到兩定點(diǎn)C, A的距離之和為常數(shù)，
所以，點(diǎn)N的軌跡是以定點(diǎn)C, A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓  
……………………4分
當(dāng)時(shí)，由于，所以所求橢圓E的方程為   
……………………6分
（2）橢圓E的方程為，其上頂點(diǎn)B
所以，直線的方程為，                  ……………………8分
記點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)
則有， 解得：……………………11分；
由，得，                  ……………………12分
∴，令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823202915252399.png" style="vertical-align:middle;" />則，
∴，∴，                    ……………………14分
所以，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是      ……………………15分

略