Question

17．已知點A（0，-2），橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，O是坐標原點．
（1）求E的方程；
（2）設過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設F（c，0），由已知得$\frac{2}{c}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求得c，再由離心率求得a，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）由題意可知，當l⊥x軸時，不合題意，設l：y=kx-2，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求出P、Q的橫坐標，代入弦長公式求得|PQ|，再由點到直線的距離公式求得O到PQ的距離，代入三角形面積公式，換元后利用基本不等式求最值，同時求得當△OPQ的面積最大時直線l的方程．

解答 解：（1）設F（c，0），由條件知$\frac{2}{c}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，得$c=\sqrt{3}$，又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴a=2，b²=a²-c²=1，
故E的方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）當l⊥x軸時，不合題意，
故設l：y=kx-2，p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-16kx+12=0．
當△=16（4k²-3）＞0，即${k^2}＞\frac{3}{4}$時，
${x}_{1}=\frac{8k-\sqrt{4{k}^{2}-3}}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{2}=\frac{8k+\sqrt{4{k}^{2}-3}}{4{k}^{2}+1}$．
從而$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{4\sqrt{{k^2}+1}•\sqrt{4{k^2}-3}}}{{4{k^2}+1}}$．
又點O到直線PQ的距離$d=\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$．
∴△OPQ的面積為${S_{△OPQ}}=\frac{1}{2}|{PQ}|•d=\frac{{4\sqrt{4{k^2}-3}}}{{4{k^2}+1}}$，
設$\sqrt{4{k^2}-3}=t（t＞0）$，
則${S_{△OPQ}}=\frac{4t}{{{t^2}+4}}=\frac{4}{{t+\frac{4}{t}}}≤\frac{4}{{2\sqrt{4}}}=1$，當且僅當$t=\frac{4}{t}$，即t=2時取“=”．
∴$\sqrt{4{k}^{2}-3}=2$，即$k=±\frac{{\sqrt{7}}}{2}$時等號成立，且滿足△＞0，
∴當△OPQ的面積最大時，l的方程為$y=\frac{{\sqrt{7}}}{2}x-2$或$y=-\frac{{\sqrt{7}}}{2}x-2$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用換元法及基本不等式求最值，屬中檔題．