Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}+2}{2}，x≤1}\\{|lo{g}_{2}（x-1）|，x＞1}\end{array}\right.$，則函數(shù)F（x）=f[f（x）]-2f（x）-$\frac{3}{2}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 令t=f（x），F(xiàn)（x）=0，則f（t）-2t-$\frac{3}{2}$=0，分別作出y=f（x）和直線y=2x+$\frac{3}{2}$，得到兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由圖象觀察，即可得到所求零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：令t=f（x），F(xiàn)（x）=0，
則f（t）-2t-$\frac{3}{2}$=0，
分別作出y=f（x）和直線y=2x+$\frac{3}{2}$，
由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)設(shè)為t₁，t₂，
則t₁=0，1＜t₂＜2，
即有f（x）=0有一根；
1＜f（x）＜2時(shí)，t₂=f（x）有3個(gè)不等實(shí)根，
綜上可得F（x）=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為4，
即函數(shù)F（x）=f[f（x）]-2f（x）-$\frac{3}{2}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和換元法，以及數(shù)形結(jié)合思想方法，考查判斷和觀察能力，屬于中檔題．