Question

11．已知$cos（θ+\frac{π}{6}）=a（|a|≤1）$，函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$），
（1）求f（θ）的值
（2）求f（x）在$x∈[\frac{π}{2}，\;π]$上的最大值及取最大值時(shí)x的取值
（3）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，利用（$\frac{π}{3}$-θ）+（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{π}{2}$，求出f（θ）的值；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出f（x）的最大值以及對(duì)應(yīng)x的值；
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）∵$cos（θ+\frac{π}{6}）=a（|a|≤1）$，函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$），
∴f（θ）=$\frac{2}{3}$sin（θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）=-$\frac{2}{3}$cos（θ+$\frac{π}{6}$）=-a；
（2）當(dāng)$x∈[\frac{π}{2}，\;π]$時(shí)，x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]；
當(dāng)x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{6}$時(shí)，
函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$）取得最大值為$\frac{2}{3}$；
（3）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{6}$+2kπ≤x≤$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∴f（x）=$\frac{2}{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$）的單調(diào)增區(qū)間是：[-$\frac{π}{6}$+2kπ，$\frac{5π}{6}$+2kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的恒等變換問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．