Question

17．如圖，四棱錐P-ABCD的側(cè)面PAD是正三角形，底面ABCD為菱形，AB=2，點E為AD的中點，∠BAD=60°．
（1）求證：AD⊥平面PBE；
（2）若∠PEB=120°，求點B到平面PAD的距離．

Answer 1

分析 （1）證明AD⊥PE，AD⊥BE，利用線面垂直的判定定理證明：AD⊥平面PBE；
（2）利用V_A-PEB=V_B-PAE，求點B到平面PAD的距離．

解答 （1）證明：∵側(cè)面PAD是正三角形，點E為AD的中點，
∴AD⊥PE，
∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，點E為AD的中點，
∴AD⊥BE，
∵PE∩BE=E，
∴AD⊥平面PBE；
（2）解：△PEB中，∠PEB=120°，PE=BE=$\sqrt{3}$，∴S_△PBE=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
設(shè)點B到平面PAD的距離為h，
∵V_A-PEB=V_B-PAE，
∴$\frac{1}{3}•\frac{3\sqrt{3}}{4}•1=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•\sqrt{3}•h$，
∴h=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查線面垂直的判定，考查點到平面距離的計算，考查三棱錐體積的運用，正確計算體積是關(guān)鍵．