Question

14．已知數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，b₁=1，且點(diǎn)（n．S_n+n+2）在函數(shù)y=2^x+1的圖象上，若數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n=b_n（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}}$）（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）（i）求證：$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{_{n}}{_{n+1}}$（n≥2，n∈N^*）；
（ii）求證：（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{3}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，b₁=1，再由前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求得b_n=2ⁿ-1；
（Ⅱ）（i）根據(jù)a_n=b_n（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}}$）可得$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，從而有$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$，所以$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{1}{_{n}}$，變形可得結(jié)論；
（ii）注意討論，當(dāng)n=1時(shí)成立，當(dāng)n≥2時(shí)，由（Ⅱ）（i）知（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{3}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）
=$\frac{1+{a}_{1}}{{a}_{1}{a}_{2}}$•$\frac{1+{a}_{2}}{{a}_{3}}$•$\frac{1+{a}_{3}}{{a}_{4}}$•…•$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$•a_n+1=$\frac{2}{3}$•$\frac{_{2}}{_{3}}$•$\frac{_{3}}{_{4}}$•$\frac{_{4}}{_{5}}$•…•$\frac{_{n}}{_{n+1}}$•a_n+1=$\frac{2}{3}$•$\frac{_{2}}{_{n+1}}$•a_n+1=2•$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n+1}}$═2（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}}$+$\frac{1}{_{n}}$）=2（1+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$），再放縮求解即可得證．

解答 解：（Ⅰ）點(diǎn)（n．S_n+n+2）在函數(shù)y=2^x+1的圖象上，
∴S_n+n+2=2ⁿ⁺¹，則S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，b₁=1，
n≥2時(shí)，S_n-1=2ⁿ-n-1，∴S_n-S_n-1=2ⁿ-1，
即b_n=2ⁿ-1（n≥2），b₁=1滿(mǎn)足該式，故b_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）（i）證明：∵a_n=b_n（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}}$）（n≥2，n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}}$，$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$=$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}}$+$\frac{1}{_{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{1}{_{n}}$，從而$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$+$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n}+1}{_{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{_{n}}{_{n+1}}$；
（ii）證明：b₁=1，b₂=3，a₁=1，a₂=3，
當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1+$\frac{1}{{a}_{1}}$=2＜$\frac{10}{3}$=右邊．
當(dāng)n≥2時(shí)，由（Ⅱ）（i）知（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{3}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）
=$\frac{1+{a}_{1}}{{a}_{1}}$•$\frac{1+{a}_{2}}{{a}_{2}}$•$\frac{1+{a}_{3}}{{a}_{3}}$•…•$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n}}$
=$\frac{1+{a}_{1}}{{a}_{1}{a}_{2}}$•$\frac{1+{a}_{2}}{{a}_{3}}$•$\frac{1+{a}_{3}}{{a}_{4}}$•…•$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$•a_n+1
=$\frac{2}{3}$•$\frac{_{2}}{_{3}}$•$\frac{_{3}}{_{4}}$•$\frac{_{4}}{_{5}}$•…•$\frac{_{n}}{_{n+1}}$•a_n+1
=$\frac{2}{3}$•$\frac{_{2}}{_{n+1}}$•a_n+1=2•$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n+1}}$═2（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}}$+$\frac{1}{_{n}}$），
而$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}}$+$\frac{1}{_{n}}$=1+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
當(dāng)k≥2時(shí)，$\frac{1}{{2}^{k}-1}$=$\frac{{2}^{k+1}-1}{（{2}^{k}-1）（{2}^{k+1}-1）}$＜$\frac{{2}^{k+1}}{（{2}^{k}-1）（{2}^{k+1}-1）}$=2（$\frac{1}{{2}^{k}-1}$-$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$），
∴1+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜1+2（$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+$\frac{1}{{2}^{3}-1}$-$\frac{1}{{2}^{4}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=1+2（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）＜1+$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{3}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列與函數(shù)，不等式的綜合運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系以及放縮法，裂項(xiàng)法等．屬于難題．