Question

15．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x²-ax+b²=0，
（1）將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為a，第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為b，求使得方程有實(shí)根的概率；
（2）若a、b是從[1，6]中任取的兩個(gè)數(shù)，求方程無解的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知是36，滿足條件的事件：方程無實(shí)根，則△=b²-4a＜0即b²＜4a，通過列舉法得到所包含的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率公式求出值；
（2）全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|1≤a≤6，1≤b≤6}，又構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|1≤a≤6，1≤b≤6}，b²＜4a}，分別求出面積，利用幾何概型故選解答．

解答 解：（1）基本事件總數(shù)為：6×6=36
若方程有實(shí)根，則△=b²-4a≥0即b²≥4a；
若a=1，則b=2，3，4，5，6，
若a=2，則b=3，4，5，6，
若a=3，則b=4，5，6，
若a=4，則b=5，6，
若a=5，則b=5，6，
若a=6，則b=5，6；
∴目標(biāo)事件個(gè)數(shù)為5+4+3+2+2+2=18，
因此方程ax²+bx+1=0沒有實(shí)根的概率為$\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$；
（2）全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|1≤a≤6，1≤b≤6}，其面積為25，
又構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|1≤a≤6，1≤b≤6，b²＜4a}，面積為${∫}_{1}^{6}\frac{^{2}}{4}db=\frac{1}{12}^{3}{|}_{1}^{6}$=$\frac{215}{432}$．

點(diǎn)評 本題考查古典概率及其運(yùn)算公式以及幾何概型，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．