Question

10．如圖，在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，AD是∠BAC的角平分線交BC于D，則$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{AC}$的值等于（　�。�

• A． $\frac{17}{5}$
• B． $\frac{33}{5}$
• C． 6
• D． $\frac{27}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)得$\frac{BD}{DC}$=$\frac{AB}{AC}$，從而求出$\overrightarrow{BD}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），再計(jì)算$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$的結(jié)果即可．

解答 解：△ABC中，AD為內(nèi)角A的平分線，
由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可得：
$\frac{BD}{DC}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AC}$
=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{5}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$\frac{3}{5}$×2×3×cos60°+$\frac{2}{5}$×3²
=$\frac{27}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與內(nèi)角平分線性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．