Question

15．已知與向量$\overrightarrow{v}$=（1，0）平行的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為4．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)y=t，代入雙曲線(xiàn)方程，求得交點(diǎn)A，B，由兩點(diǎn)距離公式結(jié)合二次函數(shù)最值求法，可得最小值．

解答 解：與向量$\overrightarrow{v}$=（1，0）平行的直線(xiàn)l，
可設(shè)為y=t，
代入雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，可得
x=±2$\sqrt{1+{t}^{2}}$，
則A（2$\sqrt{1+{t}^{2}}$，t），B（-2$\sqrt{1+{t}^{2}}$，t），
可得|AB|=4$\sqrt{1+{t}^{2}}$≥4，
當(dāng)t=0時(shí)，|AB|取得最小值4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程和應(yīng)用，同時(shí)考查向量平行的性質(zhì)，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．