Question

若函數(shù)f（x）=ax²+2x+5在（3，+∞）單調(diào)遞減，則a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分a=0和a≠0兩種情況加以討論：當(dāng)a=0時(shí)，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)在區(qū)間[-2，+∞）上增函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，關(guān)于直線x=-

1

a

對(duì)稱，由此建立關(guān)于a的不等式，解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)解析式為f（x）=ax²+2x+5，
∴當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2x+5，在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，不符合題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，因?yàn)閰^(qū)間（3，+∞）上遞減，
所以二次函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線，關(guān)于直線x=-

1

a

對(duì)稱，
可得

a＜0 - 1 a ≤3

，解之得a≤-

1

3

故答案為：（-∞，-

1

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有參數(shù)a的二次函數(shù)，在已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的情況下求參數(shù)a的取值范圍，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和分類討論思想等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．