Question

已知正方形ABCD．E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為θ（0＜θ＜π）．
（Ⅰ）證明BF∥平面ADE；
（Ⅱ）若△ACD為正三角形，試判斷點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明你的結(jié)論，并求角θ的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面ADE內(nèi)找到與直線BF平行的直線就可以了，易證四邊形EBFD為平行四邊形；
（2）判斷點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，可以從兩種角度去思考：
方法一：過點(diǎn)A作AG垂直于平面BCDE，垂足為G，然后證明射影G在直線EF上．
方法二：連接AF，在平面AEF內(nèi)過點(diǎn)作AG′⊥EF，垂足為G′．然后再證明AG′⊥平面BCDE，即G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G．
二面角的度量關(guān)鍵在于找出它的平面角，構(gòu)造平面角常用的方法就是三垂線法．由前面“判斷點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上”可知：AG⊥平面BCDE，所以過G作GH垂直于ED于H，連接AH，則AH⊥DE，所以∠AHG為二面角A-DE-C的平面角．即∠AHG=θ

解答：解：（Ⅰ）證明：EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點(diǎn)，
∵EB∥FD，且EB=FD，
∴四邊形EBFD為平行四邊形．
∴BF∥ED
∵EF?平面AED，而BF?平面AED
∴BF∥平面ADE．

（Ⅱ）解法1：
如右圖，點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上，
過點(diǎn)A作AG垂直于平面BCDE，垂足為G，連接GC，GD．
∵△ACD為正三角形，
∴AC=AD
∴CG=GD
∵G在CD的垂直平分線上，
∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上，
過G作GH垂直于ED于H，連接AH，則AH⊥DE，
所以∠AHG為二面角A-DE-C的平面角．即∠AHG=θ
設(shè)原正方體的邊長為2a，連接AF
在折后圖的△AEF中，AF=

3

a，EF=2AE=2a，
即△AEF為直角三角形，AG•EF=AE•AF
∴AG=

3

2

a
在Rt△ADE中，AH•DE=AE•AD
∴AH=

2

5

a
∴GH=

a

2 5

cosθ=

GH

AH

=

1

4

．

解法2：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上
連接AF，在平面AEF內(nèi)過點(diǎn)作AG′⊥EF，垂足為G′．
∵△ACD為正三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，
∴AF⊥CD
又因EF⊥CD，
所以CD⊥平面AEF
∴CD?平面BCDE
∴平面AEF⊥平面BCDE
又∵平面AEF∩平面BCDE=EF，AG′⊥EF
∴AG′⊥平面BCDE
∴G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G．
即點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影在直線EF上
過G作GH垂直于ED于H，連接AH，則AH⊥DE，
所以∠AHG為二面角A-DE-C的平面角．即∠AHG=θ
設(shè)原正方體的邊長為2a，連接AF
在折后圖的△AEF中，AF=

3

a，EF=2AE=2a，
即△AEF為直角三角形，AG•EF=AE•AF
∴AG=

3

2

a
在Rt△ADE中，AH•DE=AE•AD
∴AH=

2

5

a
∴GH=

a

2 5

cosθ=

GH

AH

=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)考查空間想象能力和思維能力．