Question

17．已知實數(shù)x，y滿足不等式$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{x+y-4≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，則$\frac{2{x}^{2}-{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的取值范圍是[-$\frac{2}{5}$，1]．

Answer 1

分析 令k=$\frac{y}{x}$，則$\frac{2{x}^{2}-{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{3}{1+{k}^{2}}-1$，根據(jù)k的幾何意義得出k的范圍，從而得出目標函數(shù)的范圍．

解答 解：作出約束條件表示的可行域如圖：
設k=$\frac{y}{x}$，即y=kx，則直線y=kx過點B時，k取得最小值，
當直線y=kx與直線2x-y=0重合時，k取得最大值2．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$得x=2，y=2．
∴k的最小值為1．
∵$\frac{2{x}^{2}-{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{2-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{3}{1+{k}^{2}}-1$．
∴當k=1時，$\frac{2{x}^{2}-{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$取得最大值$\frac{1}{2}$；
當k=2時，$\frac{2{x}^{2}-{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$取得最小值-$\frac{2}{5}$．
故答案為：[-$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查了簡單線性規(guī)劃，找到目標函數(shù)的幾何意義是解題關(guān)鍵．