Question

5．已知關(guān)于x的不等式mx²-（m+1）x+n＜0．
（1）若不等式的解集是{x|-1＜x＜3}，求m+n的值；
（2）若n=1，求此不等式的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次不等式的解集得到與方程根的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可，注意討論參數(shù)m的取值．

解答 解：（1）若不等式的解集是{x|-1＜x＜3}，
則-1，3是對(duì)應(yīng)方程mx²-（m+1）x+n=0的兩個(gè)根，且m＞0，
則$\left\{\begin{array}{l}{-1+3=-\frac{-（m+1）}{m}}\\{-1×3=\frac{n}{m}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2m=m+1}\\{n=-3m}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-3}\end{array}\right.$
則m+n=1-3=-2；
（2）若n=1，則不等式等價(jià)為mx²-（m+1）x+1＜0，
若m=0，則不等式等價(jià)為-x+1＜0，則x＞1，
若m≠0，
則不等式等價(jià)為（x-1）（mx-1）＜0，
即m（x-1）（x-$\frac{1}{m}$）＜0，
若m＜0，則不等式等價(jià)為（x-1）（x-$\frac{1}{m}$）＞0，解得x＞1或x＜$\frac{1}{m}$，
若m＞0，則不等式等價(jià)為（x-1）（x-$\frac{1}{m}$）＜0，
若$\frac{1}{m}$=1，即m=1時(shí)，不等式等價(jià)為（x-1）²＜0，此時(shí)不等式無(wú)解，
若$\frac{1}{m}$＞1，即0＜m＜1，不等式的解為1＜x＜$\frac{1}{m}$，
若$\frac{1}{m}$＜1，即m＞1，不等式的解為$\frac{1}{m}$＜x＜1，
綜上若m=0，不等式的解集為（1，+∞），
若m=1，不等式的解集為∅，
若m＞1，不等式的解集為（$\frac{1}{m}$，1），
若0＜m＜1，不等式的解集為（1，$\frac{1}{m}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)一元二次不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．注意要對(duì)m進(jìn)行分類討論．