Question

已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一正方形.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求

（為原點(diǎn)）面積的最大值.

 

Answer 1

（1）(2) 面積的最大值為.

【解析】

試題分析：（1）由已知得，再根據(jù)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入橢圓方程即可.

(2)設(shè)

當(dāng)直線的斜率為時(shí),可得，由，得到

；

當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，將的方程為與橢圓方程聯(lián)立，

整理得，

由, 得到

應(yīng)用韋達(dá)定理，，化簡(jiǎn)得到

代入，得到；

通過(guò)確定原點(diǎn)到直線的距離為，得到 求其最值.

試題解析：（1）∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成正方形，∴， ∴， 2分

又∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入可得，

∴故所求橢圓方程為 4分

(2)設(shè)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719010240641608/SYS201411171901128287415854_DA/SYS201411171901128287415854_DA.036.png">的垂直平分線通過(guò)點(diǎn)， 顯然直線有斜率，

當(dāng)直線的斜率為時(shí),則的垂直平分線為軸，此時(shí)

所以，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719010240641608/SYS201411171901128287415854_DA/SYS201411171901128287415854_DA.045.png">，所以

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值為， 7分

當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，則設(shè)的方程為

所以，代入得到 8分

當(dāng), 即

方程有兩個(gè)不同的解又， 10分

所以，又，化簡(jiǎn)得到

代入，得到 11分

又原點(diǎn)到直線的距離為

所以

考慮到且化簡(jiǎn)得到 13分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719010240641608/SYS201411171901128287415854_DA/SYS201411171901128287415854_DA.074.png">，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值.

綜上，面積的最大值為 14分

考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，三角形面積公式.