Question

5．設(shè)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+m}{{2}^{x+1}+n}$（m＞0，n＞0）．
（1）當(dāng)m=n=1時(shí)，證明：f（x）不是奇函數(shù)；
（2）設(shè)f（x）是奇函數(shù)，求m與n的值；
（3）在（2）的條件下，求不等式f（f（x））+f（$\frac{3}{10}$）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)當(dāng)m=n=1時(shí)，化簡(jiǎn)f（x），通過(guò)求解f（-1）≠-f（1），證明f（x）不是奇函數(shù)．
（2）通過(guò)f（-x）=-f（x），通過(guò)待定系數(shù)法求解即可．
（3）判斷f（x）是R上單調(diào)減函數(shù)．利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解不等式即可．

解答 （1）證明：當(dāng)m=n=1時(shí)，f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+1}$．
由于f（1）=$\frac{-2+1}{{2}^{2}+1}$=-$\frac{1}{5}$，f（-1）=$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1+1}$=$\frac{1}{4}$，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數(shù)．
（2）解：f（x）是奇函數(shù)時(shí)，f（-x）=-f（x），
即$\frac{-{2}^{-x}+m}{{2}^{-x+1}+n}$=-$\frac{-{2}^{x}+m}{{2}^{x+1}+n}$，對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x成立．
化簡(jiǎn)整理得（2m-n）•2^2x+（2mn-4）•2^x+（2m-n）=0，這是關(guān)于x的恒等式，
所以2mn-4=0，2m-n=0解得n=-2或n=2．
經(jīng)檢驗(yàn)m=1，n=2符合題意．
（3）解：由（2）可知，f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$，
易判斷f（x）是R上單調(diào)減函數(shù)．
由f（f（x））+f（$\frac{3}{10}$）＜0，得
f（f（x））＜f（$\frac{3}{10}$），f（x）＞-$\frac{3}{10}$，2^x＜4，得x＜2
即f（x）＞0的解集為（-∞，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．