Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₃+a₄+a₅=42，a₈=30．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=(

3

)an+2+λ（λ∈R），則是否存在這樣的實數(shù)λ使得{b_n}為等比數(shù)列；
（3）數(shù)列{c_n}滿足{c_n}=

2n-1，n為奇數(shù) 1 2 an-1，n為偶數(shù)

，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項和，求T_2n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）首先，結(jié)合{a_n}是一個等差數(shù)列，所以a₃+a₄+a₅=3a₄=42，得到a₄=14．然后，可以設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則4d=a₈-a₄=16，得到d=4，從而得到a_n=a₄+（n-4）d=4n-2；
（2）依據(jù)b_n+1²=bn•b_n+2，建立等式進(jìn)行求解即可；
（3）利用裂項分組求和法，進(jìn)行求解其和．

解答： 解：（1）因為{a_n}是一個等差數(shù)列，所以a₃+a₄+a₅=3a₄=42，
∴a₄=14．
設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則4d=a₈-a₄=16，
故d=4，
∴a_n=a₄+（n-4）d=4n-2，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=4n-2．
（2）b_n=b_n=(

3

)an+2+λ=9ⁿ+λ，
假設(shè)存在這樣的λ使得{b_n}為等比數(shù)列，則b_n+1²=b_n•b_n+2，
即（9ⁿ⁺¹+λ）²=（9ⁿ+λ）•（9ⁿ⁺²+λ），
整理可得λ=0．即存在λ=0，使得{b_n}為等比數(shù)列．…（7分）
（3）∵{c_n}=

2n-1，n為奇數(shù) 1 2 an-1，n為偶數(shù)

，
∴T_2n=1+（2×2-3）+2²+（2×4-3）+2⁴+…+2^2n-2+（2×2n-3）
=1+2²+2⁴+…+2^2n-2+4（1+2+…+n）-3n
=

1-4n

1-4

+4×

n(n-1)

2

-3n
=

4n-1

3

+2n2-n，
∴T_2n=

4n-1

3

+2n2-n．

點評：本題重點考查了等差數(shù)列的概念和性質(zhì)、數(shù)列求和、等比數(shù)列的概念和求和等知識，屬于中檔題．