Question

16．已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-8x（x-2），1≤x＜2}\\{\frac{1}{2}f（\frac{x}{2}），x≥2}\end{array}\right.$給出下列結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，8]；
②對(duì)任意的n∈N，都有f（2ⁿ）=2^3-n；
③存在k∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$），使得直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象有5個(gè)公共點(diǎn)；
④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在n∈N，使得（a，b）⊆（2ⁿ，2ⁿ⁺¹）”
其中正確命題的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式結(jié)合函數(shù)的最值進(jìn)行求解判斷，
②利用f（2ⁿ）=$\frac{1}{{2}^{n}}$f（1）進(jìn)行求解判斷，
③作出函數(shù)f（x）和y=kx的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷，
④根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．

解答 解：①當(dāng)1≤x＜2時(shí)，f（x）=-8x（x-2）=-8（x-1）²+8∈（0，8]，
②∵f（1）=8，
∴f（2ⁿ）=$\frac{1}{2}$f（2^n-1）=$\frac{1}{{2}^{2}}$f（2^n-2）=$\frac{1}{{2}^{3}}$f（2^n-3）=…=$\frac{1}{{2}^{n}}$f（2⁰）=$\frac{1}{{2}^{n}}$f（1）=$\frac{1}{{2}^{n}}$×8=2^3-n，故②正確，
③當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$）∈0，4]，故函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，8]；故①正確，
當(dāng)2≤x＜4時(shí)，1≤$\frac{x}{2}$＜2，則f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$[-8（$\frac{x}{2}$-1）²+8]=-4（$\frac{x}{2}$-1）²+4，
當(dāng)4≤x＜8時(shí)，2≤$\frac{x}{2}$＜4，則f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$[-4（$\frac{x}{4}$-1）²+4]=-2（$\frac{x}{4}$-1）²+2
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
作出y=$\frac{1}{4}$x和y=$\frac{1}{8}$x的圖象如圖，

當(dāng)k∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$），使得直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)；故③錯(cuò)誤，
④由分段函數(shù)的表達(dá)式得當(dāng)x∈（2ⁿ，2ⁿ⁺¹）時(shí)，函數(shù)f（x）在（2ⁿ，2ⁿ⁺¹）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在n∈N，使得（a，b）⊆（2ⁿ，2ⁿ⁺¹）”為真命題．，故④正確，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，作出函數(shù)的圖象以及利用函數(shù)遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．