在銳角△ABC中，
3
sinA=cosA+1
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）求cos2B+4cosAsinB的取值范圍．
分析：（1）已知等式變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式求出sin（A-
π
6
）的值，根據(jù)A的范圍求出A的度數(shù)即可；
（2）由A的度數(shù)求出cosA的值，所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將cosA的值代入再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出范圍．
解答：解：（1）由題意：
3
sinA-cosA=2sin（A-
π
6
）=1，即sin（A-
π
6
）=
1
2
，
∵0＜A＜
π
2
，∴-
π
6
＜A-
π
6
＜
π
3
，
∴A-
π
6
=
π
6
，即A=
π
3
；
（2）由（1）知：cosA=
1
2
，
∴cos2B+4cosAsinB=1-2sin2B+2sinB=-2（sinB-
1
2
）2+
3
2
，
∵△ABC為銳角三角形．
∴B+C=
2π
3
，即C=
2π
3
-B＜
π
2
，
∴
π
6
＜B＜
π
2
，
∴
1
2
＜sinB＜1，
∴1＜cos2B+2sinB＜
3
2
，
則cos2B+4cosAsinB的取值范圍為（1，
3
2
）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•浙江模擬）在銳角△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)，且滿足sin2A=sin(
π
3
+B)•sin(
π
3
-B)+sin2B．
（1）求角A的大小；
（2）若
AB
•
AC
=12，a=2
7
，求b，c（b＜c）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知
3
a=2csinA．
（1）求角C；
（2）若c=2，△ABC 的面積為
3
，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinx，-1)，
n
=(cosx，3)．
（1）當(dāng)
m
∥
n
時(shí)，求
sinx+cosx
3sinx-2cosx
的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=（
m
+
n
）•
m
，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，
3
c=2asin（A+B），對(duì)于（2）中的函數(shù)f（x），求f（B+
π
8
）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，向量
m
=(1，cosB)，
n
=(sinB，-
3
)，且
m
⊥
n
．
（1）求角B的大�。�
（2）若△ABC面積為
3
3
2
，3ac=25-b2，求a，c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=（
3
sin
x
4
，1），
n
=（cos
x
4
，
1+cos
x
2
2
）
（1）若
m
•
n
=1，求cos（
π
3
+x）的值；
（2）記f（x）=
m
•
n
，在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

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