Question

15．已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax．
（Ⅰ）當a=2時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當a＜0時，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=2時，求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性與極值；
（Ⅱ）求出f（x）的導數(shù)f′（x），討論a的取值范圍，利用導數(shù)即可判斷函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）的單調(diào)性．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=2時，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$+4x，
所以f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+4=$\frac{{4x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，所以x＞$\frac{1}{2}$或x＜-$\frac{1}{2}$，
因為x＞0，所以函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間是（$\frac{1}{2}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，$\frac{1}{2}$），
所以函數(shù)f（x）在x=$\frac{1}{2}$處取得極小值，f（$\frac{1}{2}$）=4，無極大值；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{2-a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a=$\frac{（2x-1）（ax+1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=-$\frac{1}{a}$，
當a=-2時，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）單調(diào)遞增；
當-2＜a＜0時，在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{a}$，+∞）上f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{a}$）上f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當a＜-2時，在區(qū)間（0，-$\frac{1}{a}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）上f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
在區(qū)間（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）上f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
綜上所述，當a=-2時，函數(shù)f（x）的在定義域（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
當-2＜a＜0時，f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{a}$，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{a}$）內(nèi)單調(diào)遞增；
當a＜-2時，f（x）在區(qū)間（0，-$\frac{1}{a}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）內(nèi)f（x）單調(diào)遞增．

點評 本題考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了分類討論思想的應用問題，是綜合性題目．