Question

3．已知函數(shù)f（x）=x-1-a（x-1）²-lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-x+1有一個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）若存在k∈（1，2），使得當(dāng)x∈（0，k]時(shí)，f（x）的值域是[f（k），+∞），求a的取值范圍．注：自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e=2.71828…

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a的不等式組，解出驗(yàn)算即可；
（3）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)a=0時(shí)，$f'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$．…（1分）
f'（x）＜0?0＜x＜1；  f'（x）＞0?x＞1．
所以，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．…（3分）
（2）g（x）=-a（x-1）²-lnx，則$g'（x）=-2a（x-1）-\frac{1}{x}=-\frac{{2a{x^2}-2ax+1}}{x}$．…（4分）
令h（x）=2ax²-2ax+1（x＞0），若函數(shù)g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，
則方程h（x）=0必有兩個(gè)不等的正根，設(shè)兩根為x₁，x₂，
于是$\left\{\begin{array}{l}2a≠0\\△=4{a^2}-8a＞0\\{x_1}+{x_2}=1＞0\\{x_1}{x_2}=\frac{1}{2a}＞0.\end{array}\right.$…（6分）
解得a＞2．…（7分）
當(dāng)a＞2時(shí)，h（x）=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，設(shè)為x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，
則$g'（x）=-\frac{{2a（x-{x_1}）（x-{x_2}）}}{x}=-\frac{h（x）}{x}$．
當(dāng)0＜x＜x₁時(shí)，h（x）＞0，g'（x）＜0，g（x）g'（x）＞0
在（0，x₁）上為減函數(shù)；
當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)，h（x）＜0，g（x）在（x₁，x₂）上為增函數(shù)；
當(dāng)x＞x₂時(shí)，h（x）＞0，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（x₂，+∞）上為減函數(shù)．
由此，x=x₁是函數(shù)g（x）的極小值點(diǎn)，x=x₂是函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)．符合題意．
綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，+∞）．…（8分）
（3）$f'（x）=1-2a（x-1）-\frac{1}{x}=-\frac{{2a{x^2}-（2a+1）x+1}}{x}=-\frac{（x-1）（2ax-1）}{x}$．…（9分）
①當(dāng)a≤0時(shí)，$\frac{2ax-1}{x}＜0$．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）上為減函數(shù)；
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．
所以，當(dāng)x∈（0，k]（1＜k＜2）時(shí)，f（x）_min=f（1）=0＜f（k），f（x）的值域是[0，+∞）．
不符合題意．…（10分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，$f'（x）=-\frac{{2a（x-1）（x-\frac{1}{2a}）}}{x}$．
（ i）當(dāng)$\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	$（0，\frac{1}{2a}）$	$\frac{1}{2a}$	$（\frac{1}{2a}，1）$	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

若滿足題意，只需滿足$f（\frac{1}{2a}）＞f（2）$，即$\frac{1}{2a}-1-a{（\frac{1}{2a}-1）^2}-ln\frac{1}{2a}＞1-a-ln2$．
整理得$\frac{1}{4a}+ln2a+ln2-1＞0$．…（11分）
令$F（a）=\frac{1}{4a}+ln2a+ln2-1（a≥\frac{1}{2}）$，當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，$F'（a）=\frac{1}{a}-\frac{1}{{4{a^2}}}=\frac{4a-1}{{4{a^2}}}＞0$，
所以F（a）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上為增函數(shù)，
所以，當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，$F（a）＞F（\frac{1}{2}）=ln2-\frac{1}{2}＞ln\sqrt{e}-\frac{1}{2}=0$．
可見，當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，$f（\frac{1}{2a}）＞f（2）$恒成立．
故若$a＞\frac{1}{2}$，當(dāng)x∈（0，k]（1＜k＜2）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是[f（k），+∞）．
所以$a＞\frac{1}{2}$滿足題意．…（12分）（ ii）當(dāng)$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$時(shí)，$f'（x）=-\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}≤0$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)．
所以f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．從而f（x）在（0，k]上為減函數(shù)．符合題意．…（13分）
（ iii）當(dāng)$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	$（1，\frac{1}{2a}）$	$\frac{1}{2a}$	$（\frac{1}{2a}，+∞）$
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	減函數(shù)	極小值0	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

若滿足題意，只需滿足f（2）＜f（1），且$\frac{1}{2a}＜2$（若$\frac{1}{2a}≥2$，不符合題意），即a＞1-ln2，且$a＞\frac{1}{4}$．
又$1-ln2＞\frac{1}{4}$，所以a＞1-ln2．此時(shí)，$1-ln2＜a＜\frac{1}{2}$．
綜上，a＞1-ln2．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1-ln2，+∞）．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．