Question

12．命題p：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有x²+ax+1＞0恒成立；命題q：關(guān)于x的方程x²-x+a=0有實(shí)數(shù)根．若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出命題p，q成立的等價(jià)條件，結(jié)合復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：命題p：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有x²+ax+1＞0恒成立；
則判別式△=a²-4＜0，即-2＜a＜2，
命題q：關(guān)于x的方程x²-x+a=0有實(shí)數(shù)根．
則判別式△=1-4a≥0，即a≤$\frac{1}{4}$，
若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，
則p，q一真一假，
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜2}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{4}$＜a＜2，
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{a≥2或a≤-2}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即a≤-2，
綜上a≤-2或$\frac{1}{4}$＜a＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題的真假關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)一元二次方程和一元二次不等式的性質(zhì)求出命題成立的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．