Question

2．如圖，直線y=$\frac{1}{2}$x與拋物線y=$\frac{1}{8}$x²-4交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于Q點(diǎn)，當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方（含A，B）的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則△OPQ面積的最大值為30．

Answer 1

分析 把直線方程拋物線方程聯(lián)立求得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，則AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)可得，利用AB的斜率推斷出AB垂直平分線的斜率，進(jìn)而求得AB垂直平分線的方程，把y=-5代入求得Q的坐標(biāo)；設(shè)出P的坐標(biāo)，利用P到直線0Q的距離求得三角形的高，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得QO的長(zhǎng)，最后利用三角形面積公式表示出三角形OPQ，利用x的范圍和二次函數(shù)的單調(diào)性求得三角形面積的最大值．

解答 解：直線y=$\frac{1}{2}$x與拋物線y=$\frac{1}{8}$x²-4聯(lián)立，得到A（-4，-2），B（8，4），
從而AB的中點(diǎn)為M（2，1），
由k_AB═$\frac{1}{2}$，直線AB的垂直平分線方程y-1=-2（x-2）．
令y=-5，得x=5，
∴Q（5，-5）．
∴直線OQ的方程為x+y=0，設(shè)P（x，$\frac{1}{8}$x²-4）．
∵點(diǎn)P到直線OQ的距離d=$\frac{|x+\frac{1}{8}{x}^{2}-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{8\sqrt{2}}$|x²+8x-32|，|OQ|=5$\sqrt{2}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$|OQ|d=$\frac{5}{16}$|x²+8x-32|，|
∵P為拋物線上位于線段AB下方的點(diǎn)，且P不在直線OQ上，
∴-4≤x＜4$\sqrt{3}$-4或4$\sqrt{3}$-4＜x≤8．
∵函數(shù)y=x²+8x-32在區(qū)間[-4，8]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=8時(shí)，△OPQ的面積取到最大值30．
故答案為：30．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式．考查了對(duì)解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用．