Question

設(shè)橢圓的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，2），右焦點(diǎn)F與點(diǎn)B(

2

 ， 

2

)的距離為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在經(jīng)過點(diǎn)（0，-3）的直線l，使直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N滿足|

AM

|=|

AN

|？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)條件得到(c-

2

)2+2=4以及b=2；求出a²=12即可得到橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx-3（k≠0），由|AM|=|AN|知點(diǎn)A在線段MN的垂直平分線上；聯(lián)立直線方程和橢圓方程得到k的屈指范圍以及點(diǎn)M，N的坐標(biāo)和k的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)A在線段MN的垂直平分線對(duì)應(yīng)的斜率相乘等于-1即可求出結(jié)論．

解答：解：（1）依題意，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 ( a＞b＞0 )，
則其右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(c ， 0 ) ，c=

a2-b2

，由|FB|=2，
得

(c- 2 )2+(0- 2 )2

=2，即(c-

2

)2+2=4，故c=2

2

．
又∵b=2，∴a²=12，
從而可得橢圓方程為

x2

12

+

y2

4

=1．--（6分）
（2）由題意可設(shè)直線l的方程為y=kx-3（k≠0），由|AM|=|AN|知點(diǎn)A在線段MN的垂直平分線上，
由

y=kx-3 x2 12 + y2 4 =1

消去y得x²+3（kx-3）²=12，即可得方程（1+3k²）x²-18kx+15=0…（*）
當(dāng)方程（*）的△=（-18k）²-4（1+3k²）×15=144k²-60＞0
即k2＞

5

12

時(shí)方程（*）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)P（x₀，y₀），
則x₁，x₂是方程（*）的兩個(gè)不等的實(shí)根，故有x1+x2=

18k

1+3k2

．
從而有  x0=

x1+x2

2

=

9k

1+3k2

，y0=kx0-3=

9k2-3 (1+3k2)

1+3k2

=

-3

1+3k2

．
于是，可得線段MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為P (

9k

1+3k2

 ， 

-3

1+3k2

)
又由于k≠0，因此直線AP的斜率為k1=

-3 1+3k2 -2

9k 1+3k2

=

-5-6k2

9k

，
由AP⊥MN，得

-5-6k2

9k

×k=-1，即5+6k²=9，解得k2=

2

3

＞

5

12

，
∴k=±

6

3

，
∴綜上可知存在直線l：y=±

6

3

x-3滿足題意．--------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．