Question

（14分）設(shè)橢圓的對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn),其中一個(gè)頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)與點(diǎn)

的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線,使直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)滿足？若存在,求出直線的方程；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解:（1）依題意,設(shè)橢圓方程為,則其右焦點(diǎn)坐標(biāo)為

,由,得,即

故．又∵,∴,從而可得橢圓方程為．-----------6分

（2）由題意可設(shè)直線的方程為,由知點(diǎn)在線段的垂直平分線上,

由消去得,即可得方程（*）

當(dāng)方程（*）的即時(shí)方程（*）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

設(shè),,線段的中點(diǎn),則是方程（*）的兩個(gè)不等的實(shí)根,故有．從而有  ,．

于是,可得線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為

又由于,因此直線的斜率為,

由,得，即，解得，∴，

∴綜上可知存在直線：滿足題意．--------------14分

 

【解析】略