Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F（-1，0），過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-

4

7

，

3

7

)，
（1）求橢圓E的方程；
（2）求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意得到c，再由點(diǎn)差法得到a，b的關(guān)系，結(jié)合隱含條件求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）求出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，由弦長(zhǎng)公式得答案．

解答： 解：（1）由題意知c=1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x12

a2

+

y12

b2

=1，

x22

a2

+

y22

b2

=1，
則

(x1+x2)(x1-x2)

a2

=-

(y1+y2)(y1-y2)

b2

，
即

y1-y2

x1-x2

=-

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

，
∵直線過F（-1，0），AB中點(diǎn)(-

4

7

，

3

7

)，
∴

3 7

- 4 7 +1

=-

b2•(- 8 7 )

a2• 6 7

，即3a²=4b²，
又a²=b²+c²，
∴a²=4，b²=3．
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）知AB的斜率為1，且過F（-1，0），
∴直線AB的方程為y=x+1，
聯(lián)立

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²-8x-8=0．
∴x1+x2=

8

7

，x1x2=-

8

7

．
∴|AB|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

( 8 7 )2+4× 8 7

=

24

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，訓(xùn)練了點(diǎn)差法，涉及直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題，是壓軸題．