Question

某地開發(fā)了一個(gè)旅游景點(diǎn)，第1年的游客約為100萬人，第2年的游客約為120萬人.某數(shù)學(xué)興趣小組綜合各種因素預(yù)測(cè)：①該景點(diǎn)每年的游客人數(shù)會(huì)逐年增加；②該景點(diǎn)每年的游客都達(dá)不到130萬人.該興趣小組想找一個(gè)函數(shù)來擬合該景點(diǎn)對(duì)外開放的第年與當(dāng)年的游客人數(shù)（單位：萬人）之間的關(guān)系.
（1）根據(jù)上述兩點(diǎn)預(yù)測(cè)，請(qǐng)用數(shù)學(xué)語言描述函數(shù)所具有的性質(zhì)；
（2）若=，試確定的值，并考察該函數(shù)是否符合上述兩點(diǎn)預(yù)測(cè)；
（3）若=，欲使得該函數(shù)符合上述兩點(diǎn)預(yù)測(cè)，試確定的取值范圍．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

解析試題分析：（1）易知函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，函數(shù)值不大于130；（2）把前兩年的數(shù)據(jù)即（1,100），（2,120）代入函數(shù)的解析式，解關(guān)于的方程組即可求出的值，再考查所得的函數(shù)是否具有（1）中的兩條性質(zhì)；（3）由（1,100），（2,120）兩組數(shù)據(jù)，可得到的兩個(gè)關(guān)系式，用表示，問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)含有參數(shù)的函數(shù)具備兩條性質(zhì)，求參數(shù)取值范圍的問題，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)和解決不等式恒成立問題的一般方法解決.
試題解析：（1）預(yù)測(cè)①：在上單調(diào)遞增；
預(yù)測(cè)②：對(duì)恒成立；                             2分
（2）將（1，100）、（2、120）代入到中，得，解得.
5分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/fa/c/yi5un3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
故在上單調(diào)遞增，符合預(yù)測(cè)①；                           7分
又當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)不符合預(yù)測(cè)②.    9分
（3）由，解得.                        11分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/52/7/11a9j3.png" style="vertical-align:middle;" />，要想符合預(yù)測(cè)①，則，
即，從而或.                              12分
[1]當(dāng)時(shí)，，此時(shí)符合預(yù)測(cè)①，但由，解得，
即當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)不符合預(yù)測(cè)②；13分
[2]當(dāng)，，此時(shí)符合預(yù)測(cè)①，又由，知，所以，從而.
欲也符合預(yù)測(cè)②，則，即，又，解得.
綜上所述，的取值范圍是.                                  16分
考點(diǎn)：函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.