某地開發(fā)了一個(gè)旅游景點(diǎn),第1年的游客約為100萬人,第2年的游客約為120萬人.某數(shù)學(xué)興趣小組綜合各種因素預(yù)測(cè):①該景點(diǎn)每年的游客人數(shù)會(huì)逐年增加;②該景點(diǎn)每年的游客都達(dá)不到130萬人.該興趣小組想找一個(gè)函數(shù)來擬合該景點(diǎn)對(duì)外開放的第年與當(dāng)年的游客人數(shù)(單位:萬人)之間的關(guān)系.
(1)根據(jù)上述兩點(diǎn)預(yù)測(cè),請(qǐng)用數(shù)學(xué)語言描述函數(shù)所具有的性質(zhì);
(2)若=,試確定的值,并考察該函數(shù)是否符合上述兩點(diǎn)預(yù)測(cè);
(3)若=,欲使得該函數(shù)符合上述兩點(diǎn)預(yù)測(cè),試確定的取值范圍.
(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3).
解析試題分析:(1)易知函數(shù)在定義域上是增函數(shù),函數(shù)值不大于130;(2)把前兩年的數(shù)據(jù)即(1,100),(2,120)代入函數(shù)的解析式,解關(guān)于的方程組即可求出的值,再考查所得的函數(shù)是否具有(1)中的兩條性質(zhì);(3)由(1,100),(2,120)兩組數(shù)據(jù),可得到的兩個(gè)關(guān)系式,用表示,問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)含有參數(shù)的函數(shù)具備兩條性質(zhì),求參數(shù)取值范圍的問題,可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)和解決不等式恒成立問題的一般方法解決.
試題解析:(1)預(yù)測(cè)①:在上單調(diào)遞增;
預(yù)測(cè)②:對(duì)恒成立; 2分
(2)將(1,100)、(2、120)代入到中,得,解得.
5分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/fa/c/yi5un3.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
故在上單調(diào)遞增,符合預(yù)測(cè)①; 7分
又當(dāng)時(shí),,所以此時(shí)不符合預(yù)測(cè)②. 9分
(3)由,解得. 11分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/52/7/11a9j3.png" style="vertical-align:middle;" />,要想符合預(yù)測(cè)①,則,
即,從而或. 12分
[1]當(dāng)時(shí),,此時(shí)符合預(yù)測(cè)①,但由,解得,
即當(dāng)時(shí),,所以此時(shí)不符合預(yù)測(cè)②;13分
[2]當(dāng),,此時(shí)符合預(yù)測(cè)①,又由,知,所以,從而.
欲也符合預(yù)測(cè)②,則,即,又,解得.
綜上所述,的取值范圍是. 16分
考點(diǎn):函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知偶函數(shù)滿足:當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.
(Ⅰ).求表達(dá)式;
(Ⅱ).若直線與函數(shù)的圖像恰有兩個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ).試討論當(dāng)實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí),直線的圖像恰有個(gè)公共點(diǎn),且這個(gè)公共點(diǎn)均勻分布在直線上.(不要求過程)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度,長(zhǎng)度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米,且.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元,半球形部分每平方米建造費(fèi)用為千元,設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元.
(Ⅰ)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求該函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),證明:函數(shù)不是奇函數(shù);
(2)設(shè)函數(shù)是奇函數(shù),求與的值;
(3)在(2)條件下,判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性,并求不等式的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)為偶函數(shù).
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 若方程有且只有一個(gè)根, 求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知冪函數(shù)的圖象與x軸,y軸無交點(diǎn)且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又有函數(shù)f(x)=x2-alnx+m-2在(1,2]上是增函數(shù),g(x)=x-在(0,1)上為減函數(shù).
①求a的值;
②若,數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=p(an),(n∈N+),數(shù)列{bn},滿足,,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an和sn.
③設(shè),試比較[h(x)]n+2與h(xn)+2n的大。╪∈N+),并說明理由.
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