已知冪函數(shù)的圖象與x軸,y軸無交點且關(guān)于原點對稱,又有函數(shù)f(x)=x2-alnx+m-2在(1,2]上是增函數(shù),g(x)=x-在(0,1)上為減函數(shù).
①求a的值;
②若,數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=p(an),(n∈N+),數(shù)列{bn},滿足,,求數(shù)列{an}的通項公式an和sn.
③設(shè),試比較[h(x)]n+2與h(xn)+2n的大。╪∈N+),并說明理由.
①;②;;③見解析.
解析試題分析:①由冪函數(shù)的定義和性質(zhì)可以知道的取值集合,由圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)是奇函數(shù)可以確定的值,將的值代入,的解析式后,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系以及不等式的恒成立問題的解法就可以知道滿足的不等式,就可以解得的值;②先由已知條件求出的解析式,然后得出,的關(guān)系,由函數(shù)構(gòu)造的方法可以求得的解析式,代入即可,再由數(shù)列求和公式求得的值;③先求出的解析式,再由相減的方法來判斷兩個式子的大小,最后減得的結(jié)果和0比較即可,注意分類討論的思想.
試題解析:①冪函數(shù)的圖像與軸,軸無交點,則有,解得
又,∴或,
又冪函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱,則有冪函數(shù)是奇函數(shù),
當(dāng)時,是偶函數(shù),不合題意,舍去,
當(dāng)時,是奇函數(shù),∴,
∴,求導(dǎo)得,
又∵在上是增函數(shù),∴在上恒成立,
解得,
又∵,在上為減函數(shù),
∴在上恒成立,
解得,
綜上知; ..3分
②∵,
∴∴∴∴,
∴是首項為公比的等比數(shù)列,
∴解得,
∴,
∴,
; .6分
③∵,
當(dāng)時,,
當(dāng)時,
=
=
=
=
,
. 10分
考點:函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系,奇函數(shù)圖像的性質(zhì),等比數(shù)列的構(gòu)造.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某地開發(fā)了一個旅游景點,第1年的游客約為100萬人,第2年的游客約為120萬人.某數(shù)學(xué)興趣小組綜合各種因素預(yù)測:①該景點每年的游客人數(shù)會逐年增加;②該景點每年的游客都達不到130萬人.該興趣小組想找一個函數(shù)來擬合該景點對外開放的第年與當(dāng)年的游客人數(shù)(單位:萬人)之間的關(guān)系.
(1)根據(jù)上述兩點預(yù)測,請用數(shù)學(xué)語言描述函數(shù)所具有的性質(zhì);
(2)若=,試確定的值,并考察該函數(shù)是否符合上述兩點預(yù)測;
(3)若=,欲使得該函數(shù)符合上述兩點預(yù)測,試確定的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知函數(shù)()在區(qū)間上有最大值和最小值.設(shè).
(1)求、的值;
(2)若不等式在上有解,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù), .
(1)若, 函數(shù) 在其定義域是增函數(shù),求的取值范圍;
(2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)函數(shù)的最小值;
(3)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點,過線段的中點作軸的垂線分別交、于點、,問是否存在點,使在處的切線與在處的切線平行?若存在,求出的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
對于函數(shù),若在定義域內(nèi)存在實數(shù),滿足,則稱為“局部奇函數(shù)”.
(Ⅰ)已知二次函數(shù),試判斷是否為“局部奇函數(shù)”?并說明理由;
(Ⅱ)若是定義在區(qū)間上的“局部奇函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若為定義域上的“局部奇函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)若x=時,取得極值,求的值;
(2)若在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求的取值范圍;
(3)設(shè),當(dāng)=-1時,證明在其定義域內(nèi)恒成立,并證明().
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)的定義域為,若在上為增函數(shù),則稱 為“一階比增函數(shù)”.
(Ⅰ) 若是“一階比增函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ) 若是“一階比增函數(shù)”,求證:,;
(Ⅲ)若是“一階比增函數(shù)”,且有零點,求證:有解.
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