Question

16．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個單位向量．
（Ⅰ）若|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=2，試求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為60°，試求向量$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平面向量的數(shù)量積與模長公式，先求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值，再求出|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|；
（Ⅱ）根據(jù)平面向量的數(shù)量積與夾角公式，即可求出$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$夾角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個單位向量，
當|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=2時，${（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+4${\overrightarrow}^{2}$=1-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+4=4，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{4}$，
∴${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=1-2×$\frac{1}{4}$+1=$\frac{3}{2}$，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為60°，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$，
又向量$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3${\overrightarrow}^{2}$=1-2×$\frac{1}{2}$-3×1=-3，
|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{1+2×\frac{1}{2}+1}$=$\sqrt{3}$，
|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{9\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{1-6×\frac{1}{2}+9}$=$\sqrt{7}$，
∴$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$的夾角θ的余弦值為
cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|×|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{3}×\sqrt{7}}$=-$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長公式以及夾角公式的應用問題，是基礎題目．