Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，長軸長為4，過橢圓的左頂點(diǎn)A作直線l，分別交橢圓和圓x²+y²=a²于相異兩點(diǎn)P，Q．
（1）若直線l的斜率為$\frac{1}{2}$，求$\frac{AP}{AQ}$的值；
（2）若$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{AP}$，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=2，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系可得b，c，進(jìn)而得到橢圓方程和圓的方程，設(shè)出直線l的方程代入橢圓方程，求得弦長AP，運(yùn)用圓的弦長公式可AQ，進(jìn)而所求之比；或聯(lián)立直線的方程和橢圓方程（或圓的方程）求得P，Q的縱坐標(biāo)，即可得到所求之比；
（2）若$\overrightarrow{PQ}=λ\overrightarrow{AP}$，則$λ=\frac{AQ}{AP}-1$，設(shè)直線l：y=k（x+2），代入橢圓方程，求得交點(diǎn)，以及弦長AP，代入圓方程可得交點(diǎn)，可得弦長AQ，可得實(shí)數(shù)λ的式子，運(yùn)用不等式的性質(zhì)即可得到所求范圍；或?qū)⒅本�方程代入橢圓方程（圓方程）求得P，Q的縱坐標(biāo)，由坐標(biāo)之比，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由條件可得，2a=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
可得橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，圓的方程為x²+y²=4；
（方法一）直線l的方程為$y=\frac{1}{2}（{x+2}）$，由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}（{x+2}）\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$得：3x²+4x-4=0，
解得${x_A}=-2，{x_p}=\frac{2}{3}$，所以$P（{\frac{2}{3}，\frac{4}{3}}）$；
所以$AP=\sqrt{{{（{\frac{2}{3}+2}）}^2}+{{（{\frac{4}{3}}）}^2}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$，又因?yàn)樵�點(diǎn)O到直線l的距離$d=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
所以$AQ=2\sqrt{4-\frac{4}{5}}=\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$，
所以$\frac{AP}{AQ}=\frac{{\frac{{4\sqrt{5}}}{3}}}{{\frac{{8\sqrt{5}}}{5}}}=\frac{5}{6}$；
（方法二）由$\left\{\begin{array}{l}x=2y-2\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$得3y²-4y=0，所以y_P=$\frac{4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2y-2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$可得5y²-8y=0，解得y_Q=$\frac{8}{5}$，
所以$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{{y}_{P}}{{y}_{Q}}$=$\frac{4}{3}$×$\frac{5}{8}$=$\frac{5}{6}$；
（2）（方法一）若$\overrightarrow{PQ}=λ\overrightarrow{AP}$，則$λ=\frac{AQ}{AP}-1$，
設(shè)直線l：y=k（x+2），由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=4\\ y=k（{x+2}）\end{array}\right.$得，（2k²+1）x²+8k²-4=0，
即（x+2）[（2k²+1）x+（4k²-2）]=0，
所以${x_A}=-2，{x_P}=\frac{{2-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，得$P（{\frac{{2-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，\frac{4k}{{2{k^2}+1}}}）$；
所以$A{P^2}={（{\frac{{2-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}+2}）^2}+{（{\frac{4k}{{2{k^2}+1}}}）^2}=\frac{{16+16{k^2}}}{{{{（{2{k^2}+1}）}^2}}}$，
即$AP=\frac{{4\sqrt{{k^2}+1}}}{{2{k^2}+1}}$，同理Q（$\frac{2-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$），$AQ=\frac{4}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
即有λ=$\frac{\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+1}}}{\frac{4\sqrt{{k}^{2}+1}}{2{k}^{2}+1}}$-1=1-$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，
由k²＞0，可得0＜k²＜1．
（方法二）由方法一可得，λ=$\frac{AQ}{AP}$-1=$\frac{{y}_{Q}}{{y}_{P}}$-1=$\frac{\frac{4k}{{k}^{2}+1}}{\frac{4k}{2{k}^{2}+1}}$-1=1-$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，
由題意：k²＞0，所以0＜λ＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查弦長之比，注意運(yùn)用弦長公式和向量的坐標(biāo)之比，考查向量共線的坐標(biāo)以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．