10．記f（n）=（3n+2）（C${\;}_{2}^{2}$+C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$）（n≥2，n∈N*）．
（1）求f（2），f（3），f（4）的值；
（2）當(dāng)n≥2，n∈N*時，試猜想所有f（n）的最大公約數(shù)，并證明．

分析 （1）由組合數(shù)的性質(zhì)可得f（n）=（3n+2）Cn+13，代值計(jì)算即可，
（2）由（1）中結(jié)論可猜想所有f（n）的最大公約數(shù)為4．用數(shù)學(xué)歸納法證明所有的f（n）都能被4整除即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒（n）=（3n+2）（C22+C32+C42+…+Cn2）=（3n+2）Cn+13，
所以f（2）=8，f（3）=44，f（4）=140．
（2）由（1）中結(jié)論可猜想所有f（n）的最大公約數(shù)為4．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明所有的f（n）都能被4整除即可．
（�。┊�(dāng)n=2時，f（2）=8能被4整除，結(jié)論成立；                  
（ⅱ）假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即f（k）=（3k+2）Ck+13能被4整除，
則當(dāng)n=k+1時，f（k+1）=（3k+5）Ck+23=（3k+2）Ck+13+3Ck+23=（3k+2）（Ck+13+Ck+12）+（k+2）Ck+12，
=（3k+2）Ck+13+（3k+2）Ck+12+（k+2）Ck+12，
=（3k+2）Ck+13+4（k+1）Ck+12，
此式也能被4整除，即n=k+1時結(jié)論也成立．
綜上所述，所有f（n）的最大公約數(shù)為4．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查推理證明的能力，假設(shè)n=k（k∈N*）時命題成立，去證明則當(dāng)n=k+1時，用上歸納假設(shè)是關(guān)鍵，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|．
（1）若不等式f（x+$\frac{1}{2}$）≤2m+1（m＞0）的解集為[-2，2]，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）對任意x，y∈R，求證：f（x）≤2y+$\frac{4}{{2}^{y}}$+|2x+3|．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．已知$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，直線mx+y+1=1恒過橢圓的一個頂點(diǎn)．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為橢圓的右焦點(diǎn)，過F的直線l（l不與坐標(biāo)軸垂直）交橢圓于A，B兩點(diǎn)，C為AB的中點(diǎn)，D為A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)．
（i）求證：直線OC與過點(diǎn)F且與l垂直的直線的交點(diǎn)在直線x=$\frac{5}{2}$上；
（ii）在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使B、D、T三點(diǎn)共線？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．已知函數(shù)f（x）=x+alnx（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處與直線y=3x-2相切，求a的值；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-kx2有兩個零點(diǎn)x1，x2，試判斷$g'（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）$的符號，并證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．甲、乙、丙三人參加微信群搶紅包游戲，規(guī)則如下：每輪游戲發(fā)10個紅包，每個紅包金額在[1，5]產(chǎn)生．已知在每輪游戲中所產(chǎn)生的10個紅包金額的頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求a的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)10個紅包金額的中位數(shù)；
（Ⅱ）以頻率分布直方圖中的頻率作為概率，若甲搶到來自[2，4）中3個紅包，求其中一個紅包來自[2，3），另2個紅包來自[3，4）的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，長軸長為4，過橢圓的左頂點(diǎn)A作直線l，分別交橢圓和圓x2+y2=a2于相異兩點(diǎn)P，Q．
（1）若直線l的斜率為$\frac{1}{2}$，求$\frac{AP}{AQ}$的值；
（2）若$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{AP}$，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．如圖，在五面體ABCDE中，AD⊥平面ABC，AD∥BE∥CF，△ABC為等邊三角形，AB=2$\sqrt{3}$，BE=2，AD=3，CF=4，M為EF的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DM∥平面ABC；
（Ⅱ）求直線CD與平面DEF所成角的正切值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

19．已知非零向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$滿足（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$=$\frac{1}{2}$，則△ABC的形狀是（　　）
A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰（非等邊）三角形D．等邊三角形

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=4，且Sn=an+1-2．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：
（Ⅱ）若cn=-20+log2a4n，求{cn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案