Question

15．已知函數(shù)f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3．
（1）用五點法畫出它在一個周期內的閉區(qū)間上的圖象；
（2）指出由函數(shù)y=3sin$\frac{x}{2}$通過怎樣的變換可以得到函數(shù)f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3的圖象并求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）若x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π得到相應的x的值，列表描點即可；
（2）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b變換規(guī)律，將y=3sin$\frac{x}{2}$沿x軸向左平移$\frac{π}{3}$單位可得：y=3sin$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），將y=3sin$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$）沿y軸向上平移3個單位可得：f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3的圖象，根據(jù)圖象寫出周期，由 2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x的范圍，即得單調增區(qū)間，
（3）由x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質可知：3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3∈[$\frac{9}{2}$，6]．

解答 解：（1）令$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π，得到相應的x的值，列表如下：

x	-$\frac{π}{3}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{8π}{3}$	$\frac{11π}{3}$
$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	3	6	3	0	3

…2分
描點，用光滑的曲線把各點連接，作圖如下：
…6分
（2）數(shù)f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3
將y=3sin$\frac{x}{2}$沿x軸向左平移$\frac{π}{3}$單位可得：y=3sin$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），將y=3sin$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$）沿y軸向上平移3個單位可得：f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3的圖象，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴其增區(qū)間為[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z），
（3）由x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3∈[$\frac{9}{2}$，6]，
∴當$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即x=$\frac{4π}{3}$，f（x）取最小值$\frac{9}{2}$，
當$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，即x=$\frac{2π}{3}$時，f（x）取最大值為6．…12分

點評 本題考查用五點法作y=Asin（ωx+φ）+b的圖象，以及函數(shù)的性質、圖象變換，用五點法作y=Asin（ωx+φ）+b的圖象，是解題的關鍵，屬于中檔題．