Question

6．極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同，已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2（cosθ+sinθ），曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=-sinα}\end{array}\right.$ （α為參數(shù)）．
（1）求曲線C₁，C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C₁交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于E，求|EA|+|EB|的值．

Answer 1

分析 （1）極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，再用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{tanθ=\frac{y}{x}}\end{array}\right.$轉(zhuǎn)化為x，y的關(guān)系式，即可．
（2）利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解．將參數(shù)方程代入曲線C₁，得關(guān)于t的一元二次方程，再結(jié)合韋達(dá)定理求解|EA|+|EB|所表達(dá)出的韋達(dá)定理的結(jié)構(gòu)式．因E在曲線C₁（圓）內(nèi)，故|EA|+|EB|=|AB|，也可以直接轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下普通方程，求直線與圓的弦長|AB|．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2（cosθ+sinθ），
兩邊同乘乘ρ，得ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ）
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$  且 ρ²=x²+y²
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為 x²+y²=2x+2y 即（x-1）²+（y-1）²=2   …2分
曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=-sinα}\end{array}\right.$ （α為參數(shù)）則$\left\{\begin{array}{l}{cosα=\frac{x}{2}}\\{sinα=-y}\end{array}\right.$ 
∵cos²α+sin²α=1
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為 $\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$   …4分
（2）解法一：
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與y軸交點(diǎn)為E（0，1）…5分
直線l與曲線C₁交于A，B兩點(diǎn)，由直線l參數(shù)t的意義
知|EA|+|EB|=|t_A|+|t_B|…6分
將直線l參數(shù)方程代入曲線C₁直角坐標(biāo)方程
得：$（\frac{1}{2}t-1）^{2}+（1+\frac{\sqrt{3}}{2}t-1）^{2}=2$ 即 t²-t-1=0
∴t_A+t_B=1，t_At_B=-1   …8分
因?yàn)镋（0，1）在曲線C₁內(nèi)，
∴|EA|+|EB|=|t_A|+|t_B|=|t_A-t_B|
=$\sqrt{（{t}_{A}+{t}_{B}）^{2}-4{t}_{A}{t}_{B}}$
=$\sqrt{5}$．         …10分
解法二：直線l的普通方程為$y=\sqrt{3}x+1$    …5分
由（1）知曲線C₁是以（1，1）為圓心，以$\sqrt{2}$為半徑的圓．
因E在圓C₁內(nèi)，∴|EA|+|EB|=|AB|…6分
又∵圓心（1，1）到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}-1+1|}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$   …8分
∴|AB|=$2\sqrt{{\sqrt{2}}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴|EA|+|EB|=$\sqrt{5}$．     …10分

點(diǎn)評 考查極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程化普通方程，直線參數(shù)方程的意義．考查方程思想．屬于中檔題．