Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=0，且a_n，n+1，a_n+1成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知a_n，n+1，a_n+1成等差數(shù)列，得遞推關(guān)系式，分類討論可得通項(xiàng)公式．
（2）討論n的奇偶性，分別求和．

解答 解：（1）{a_n}滿足a₁=0，且a_n，n+1，a_n+1成等差數(shù)列．
∴a_n+a_n+1=2（n+1），a₂=4．
n≥2時(shí)，a_n-1+a_n=2n．
∴a_n+1-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差為2．
n為奇數(shù)時(shí)，a_n=0+$（\frac{n+1}{2}-1）$×2=n-1．
n為偶數(shù)時(shí)，a_n=4+$（\frac{n}{2}-1）$×2=n+2．
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n-1，n為奇數(shù)}\\{n+2，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
（2）n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=2×2+2×4+…+2×n=2×$\frac{\frac{n}{2}（2+n）}{2}$=$\frac{n（n+2）}{2}$．
n為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=S_n-1+a_n=$\frac{（n-1）（n+1）}{2}$+n-1=$\frac{（n-1）（n+3）}{2}$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n+2）}{2}，n為偶數(shù)}\\{\frac{（n-1）（n+3）}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．