Question

1．設函數f（x）=e^x，g（x）=kx+1．
（I）求函數y=f（x）-（x+1）的最小值；
（II）證明：當k＞1時，存在x₀＞0，使對于任意x∈（0，x₀）都有f（x）＜g（x）；
（III）若存在實數m使對任意x∈（0，m）都有|f（x）-g（x）|＞x成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的最小值即可；
（Ⅱ）設h（x）=f（x）-g（x），求出函數的導數，得到函數的單調性，從而證出結論；
（Ⅲ）通過討論k的范圍，①當k＞1時，得到（k-1）x+1-e^x＞0，設t（x）=（k-1）x+1-e^x，根據函數的單調性求出k的范圍即可；②當k≤1時，等價于e^x-（k+1）x-1＞0，設φ（x）=e^x-（k+1）x-1，根據函數的單調性求出k的范圍即可．

解答 解：（I）由已知y=e^x-x-1，∴y'=e^x-1，
設y'＞0得x＞0，設y'＜0得x＜0，
∴函數y=e^x-x-1在（-∞，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增，
則當x=0時，y有最小值為0…（3分）
（II）證明：設h（x）=f（x）-g（x），即h（x）=e^x-kx-1，
∴h'（x）=e^x-k，設h'（x）=0得x=lnk（k＞1），
∵k＞1，∴當x∈（0，lnk）時，h'（x）＜0，
即h（x）在（0，lnk）上單調遞減，
而h（0）=0，且h（x）是R上的連續(xù)函數，
∴h（x）＜0在（0，lnk）上恒成立，
即f（x）＜g（x）在（0，lnk）上恒成立，
∴取0＜x₀≤lnk，則對任意x∈（0，x₀）都有f（x）＜g（x）…（7分）
（III）①當k＞1時，由（II）知存在x₀＞0，
使對于任意x∈（0，x₀）都有f（x）＜g（x），
則不等式|f（x）-g（x）|＞x
等價于g（x）-f（x）＞x，即（k-1）x+1-e^x＞0，
設t（x）=（k-1）x+1-e^x，t'（x）=k-1-e^x，
設t'（x）＞0得x＜ln（k-1），設t'（x）＜0得x＞ln（k-1），
若1＜k≤2，ln（k-1）≤0，
∵（0，x₀）?（ln（k-1），+∞），
∴t（x）在（0，x₀）上遞減，注意到t（0）=0，
∴對任意x∈（0，x₀），t（x）＜0，與題設不符，
若k＞2，ln（k-1）＞0，（0，ln（k-1））?（-∞，ln（k-1）），
∴t（x）在（0，ln（k-1））上遞增，
∵t（0）=0，∴對任意x∈（0，ln（k-1）），t（x）＞0符合題設，
此時取0＜m≤min{x₀，ln（k-1）}，
可得對任意x∈（0，m）都有|f（x）-g（x）|＞x…（10分）
②當k≤1時，由（I）知e^x-（x+1）≥0，
f（x）-g（x）=e^x-kx-1=e^x-（x+1）+（1-k）x≥（1-k）x≥0，
對任意x＞0都成立，∴|f（x）-g（x）|＞x等價于e^x-（k+1）x-1＞0，
設φ（x）=e^x-（k+1）x-1，
則φ'（x）=e^x-（k+1），
若k≤0，即有k+1≤1，∴對任意正數x，φ'（x）＞0，
∴φ（x）在（0，+∞）上遞增，
∵φ（0）=0，∴φ（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
此時，m可取任意正數都符合題設，
若0＜k≤1，設φ'（x）＞0得x＞ln（k+1）＞0，
設φ'（x）＜0得x＜ln（k+1），
∴φ（x）在（0，ln（k+1））上遞減，注意到φ（0）=0，
∴對任意x∈（0，ln（k+1）），φ（x）＜0，不符合題設…（13分）
綜上所述，滿足題設條件的k的取值范圍為{k|k≤0或k＞2}…（14分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以函數恒成立問題，考查分類討論思想、轉化思想，是一道綜合題．