Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，S_n=a_n+1-2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足2${\;}^{\frac{1}{_{n}}}$=a₁a₂…a_n，且k•（b₁+b₂+…+b_n）≤a_n（n∈N^*），求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用公式a_n=S_n-S_n-1判斷{a_n}為等比數(shù)列，從而得出通項公式；
（2）求出b_n=$\frac{2}{n（n+1）}$，使用裂項求和得出b₁+b₂+…+b_n，從而得出k≤$\frac{n+1}{n}•{2}^{n-1}$，判斷新數(shù)列{$\frac{n+1}{n}•{2}^{n-1}$}的單調(diào)性得出$\frac{n+1}{n}•{2}^{n-1}$的最小值即為k的最大值．

解答 解：（1）n=1時，a₁=a₂-2，∴a₂=a₁+2=4．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=a_n+1-2-（a_n-2），∴2a_n=a_n+1．
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$，又$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=2$，
∴{a_n}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=2ⁿ．
（2）∵a₁a₂…a_n=2^1+2+3+…+n=2${\;}^{\frac{（n+1）n}{2}}$，
∴b_n=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）．
∴b₁+b₂+…+b_n=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．
∵k•（b₁+b₂+…+b_n）≤a_n，
∴k≤$\frac{n+1}{2n}$•a_n=$\frac{n+1}{n}•{2}^{n-1}$．
設(shè)c_n=$\frac{n+1}{n}•{2}^{n-1}$，則c_n+1-c_n=$\frac{n+2}{n+1}•{2}^{n}$-$\frac{n+1}{n}•{2}^{n-1}$
=2^n-1（$\frac{2n+4}{n+1}$-$\frac{n+1}{n}$）=2^n-1•$\frac{{n}^{2}+2n-1}{n（n+1）}$＞0．
∴{c_n}為遞增數(shù)列，∴當(dāng)n=1時，c_n取得最小值2．
∴k≤2．
∴實數(shù)k的最大值為2．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求和及數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．