Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先整理函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性以及最小正周期的求法即可得到問(wèn)題的結(jié)論．
（Ⅱ）由（I）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=$\frac{1}{2}$（sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
所以函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈Z，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}$+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
則sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，所以f（x）∈[0，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
于是當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，函數(shù)f（x）的取值范圍為[0，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式及利用求周期的公式求周期，以及根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求三角函數(shù)的值域，屬于三角函數(shù)的基礎(chǔ)題，考查的知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)相當(dāng)全面，知識(shí)性較強(qiáng)．