Question

【題目】如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為，，分別是棱，的中點(diǎn)，過(guò)直線，的平面分別與棱、交于，，設(shè)，，給出以下四個(gè)命題：

①平面平面；

②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最小；

③四邊形周長(zhǎng)，是單調(diào)函數(shù)；

④四棱錐的體積為常函數(shù)；

以上命題中假命題的序號(hào)為（ ）．

A. ①④ B. ② C. ③ D. ③④

Answer 1

【答案】C

【解析】①連接，，

在正方體中，

平面，

∴平面平面，①正確；

②連接，

∵平面，

四邊形的對(duì)角線是固定的，

要使面積最小，

只需的長(zhǎng)度最小即可，

此時(shí)為棱中點(diǎn)，，

長(zhǎng)度最小，對(duì)應(yīng)四邊形的面積最小，②正確；

③∵，

∴四邊形是菱形，

當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度由大變小，

當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度由小變大，

∴函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，③錯(cuò)誤；

④連接，，，

四棱錐分割成兩個(gè)小三棱錐，

以為底，分別以、為頂點(diǎn)，

∵面積是個(gè)常數(shù)，

、到平面的距離是個(gè)常數(shù)，

∴四棱錐的體積為常函數(shù)，④正確．