2.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù),且a≠0)滿足條件:f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=2x有兩等根.
(1)求f(x)的解析式.
(2)求f(x)在[0,t]上的最大值.
(3)是否存在實數(shù)m、n(m<n),使f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[4m,4n],如果存在,求出m、n的值,如果不存在,說明理由.

分析 (1)根據(jù)判別式=0,求出b的值,再求出f(x)的對稱軸,從而求出a的值,求出函數(shù)的表達式即可;
(2)結(jié)合函數(shù)的對稱軸通過討論t的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最大值即可;
(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于m、n的方程組,求出m、n的值即可.

解答 解:(1)∵方程f(x)=2x有兩等根,ax2+(b-2)x=0有兩等根,
∴△=(b-2)2=0,解得b=2,
∵f(x-1)=f(3-x),∴x=1是函數(shù)的對稱軸,
又此函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=-$\frac{2a}$,∴-$\frac{2a}$=1,∴a=-1,
故f(x)=-x2+2x;
(2)∵函數(shù)f(x)=-x2+2x對稱軸為x=1,x∈[0,t],
∴當t≤1時,f(x)在[0,t]上是增函數(shù),∴f(x)max=-t2+2t,
當t>1時,f(x)在[0,1]上是增函數(shù),在[1,t]上是減函數(shù),∴f(a)max=f(1)=1,
綜上,f(x)max=$\left\{\begin{array}{l}{1,t>1}\\{-{t}^{2}+2t,t≤1}\end{array}\right.$.
(3)∵f(x)=-(x-1)2+1≤1,∴4n≤1,即n≤$\frac{1}{4}$.
而拋物線y=-x2+2x的對稱軸為x=1,∴當n≤$\frac{1}{4}$時,f(x)在[m,n]上為增函數(shù).
若滿足題設(shè)條件的m,n存在,則$\left\{\begin{array}{l}{f(m)=4m}\\{f(n)=4n}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+2m=4m}\\{-{n}^{2}+2n=4n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{m=0或m=-2}\\{n=0或n=-2}\end{array}\right.$,又m<n≤$\frac{1}{4}$.
∴m=-2,n=0,這時,定義域為[-2,0],值域為[-8,0].
由以上知滿足條件的m,n存在,m=-2,n=0.

點評 本題考察了二次函數(shù)的性質(zhì),考察函數(shù)的單調(diào)性最值問題,是一道中檔題.

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