Question

2．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿足條件：f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=2x有兩等根．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．
（3）是否存在實(shí)數(shù)m、n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式=0，求出b的值，再求出f（x）的對(duì)稱軸，從而求出a的值，求出函數(shù)的表達(dá)式即可；
（2）結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱軸通過討論t的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于m、n的方程組，求出m、n的值即可．

解答 解：（1）∵方程f（x）=2x有兩等根，ax²+（b-2）x=0有兩等根，
∴△=（b-2）²=0，解得b=2，
∵f（x-1）=f（3-x），∴x=1是函數(shù)的對(duì)稱軸，
又此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=-$\frac{2a}$，∴-$\frac{2a}$=1，∴a=-1，
故f（x）=-x²+2x；
（2）∵函數(shù)f（x）=-x²+2x對(duì)稱軸為x=1，x∈[0，t]，
∴當(dāng)t≤1時(shí)，f（x）在[0，t]上是增函數(shù)，∴f（x）_max=-t²+2t，
當(dāng)t＞1時(shí)，f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，在[1，t]上是減函數(shù)，∴f（a）_max=f（1）=1，
綜上，f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{1，t＞1}\\{-{t}^{2}+2t，t≤1}\end{array}\right.$．
（3）∵f（x）=-（x-1）²+1≤1，∴4n≤1，即n≤$\frac{1}{4}$．
而拋物線y=-x²+2x的對(duì)稱軸為x=1，∴當(dāng)n≤$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）在[m，n]上為增函數(shù)．
若滿足題設(shè)條件的m，n存在，則$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=4m}\\{f（n）=4n}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+2m=4m}\\{-{n}^{2}+2n=4n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{m=0或m=-2}\\{n=0或n=-2}\end{array}\right.$，又m＜n≤$\frac{1}{4}$．
∴m=-2，n=0，這時(shí)，定義域?yàn)閇-2，0]，值域?yàn)閇-8，0]．
由以上知滿足條件的m，n存在，m=-2，n=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了二次函數(shù)的性質(zhì)，考察函數(shù)的單調(diào)性最值問題，是一道中檔題．