Question

10．已知梯形ABCD，AB∥CD，且AB=AD=2，CD=3．
（1）用向量$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{BC}$表示向量$\overrightarrow{BD}$；
（2）若AD⊥AB，求向量$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{BD}$夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個(gè)向量的加減法的幾何意義，可得用向量$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{BC}$表示向量$\overrightarrow{BD}$的解析式．
（2）建立坐標(biāo)系，根據(jù)兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，以及兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求得cos＜$\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|}$的值．

解答 解：（1）∵梯形ABCD，AB∥CD，且AB=AD=2，CD=3，∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}）+\overrightarrow{AD}$，
∴$\frac{\overrightarrow{BD}}{3}$=-$\frac{2}{3}•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AD}$，∴$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{AD}$-2$\overrightarrow{BC}$．
（2）以D點(diǎn)為原點(diǎn)，以DC所在直線為x軸，以DA所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，
則D（0，0），A（0，2），C（3，0），B（2，2），
∴$\overrightarrow{AC}$=（3，-2），$\overrightarrow{BD}$=（-2，-2），$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=-6+4=-2，
∴cos＜$\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{13}•2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{26}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的幾何意義，用兩個(gè)向量的數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．