Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+（a-1）lnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=2，求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx$，
∴$f'（x）=x-2+\frac{1}{x}$，∴$f（1）=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}，f'（1）=0$，-----------------（2分）
∴函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為$y=-\frac{3}{2}$．-----------------（3分）
（Ⅱ）由題知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），-----------------（4分）
$f'（x）=x-a+\frac{a-1}{x}=\frac{{{x^2}-ax+（{a-1}）}}{x}=\frac{{（{x-1}）（{x+1-a}）}}{x}$，
令f'（x）=0，解得x₁=1，x₂=a-1，-----------------（6分）
①當(dāng)a＞2時(shí)，所以a-1＞1，在區(qū)間（0，1）和（a-1，+∞）上f'（x）＞0；在區(qū)間（1，a-1）上f'（x）＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）和（a-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a-1）．-----------------（7分）
②當(dāng)a=2時(shí)，f’（x）＞=0 恒成立，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）--------（8分）
③當(dāng)1＜a＜2時(shí)，a-1＜1，在區(qū)間（0，a-1），和（1，+∞）上f’（x）＞0；在（a-1，1）上f’（x）＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a-1，1）-------------------------（9分）
④當(dāng)a=1時(shí)，f’（x）=x-1，x＞1時(shí)f’（x）＞0，x＜1時(shí)f’（x）＜0，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 （1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）----------（10分）
⑤當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a-1＜0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 （1，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），-----------------（11分）
綜上，①a＞2時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）和（a-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a-1）
②a=2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）-
③當(dāng)0＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a-1，1）
④當(dāng)0＜a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 （1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），----------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查分類討論思想，是一道中檔題．