Question

19．已知：在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，判斷{a_n}的單調(diào)性．
小明同學(xué)給出了如下解答思路，請補全解答過程．
第一步，計算：
根據(jù)已知條件，計算出：a₂=$\frac{1}{4}$，a₃=$\frac{1}{7}$，a₄=$\frac{1}{10}$．
第二步，猜想：
數(shù)列{a_n}是遞減（填遞增、遞減）數(shù)列．
第三步，證明：
因為${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，所以$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{3{a_n}+1}}{a_n}=\frac{1}{a_n}+$3．
因此可以判斷數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$是首項$\frac{1}{a_1}$=1，公差d=3的等差數(shù)列．
故數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$的通項公式為3n-2．
且由此可以判斷出：
數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$是遞增（填遞增、遞減）數(shù)列，且各項均為正數(shù)（填正數(shù)、負數(shù)或零）．
所以數(shù)列{a_n}是遞減（填遞增、遞減）數(shù)列．

Answer 1

分析 代值計算求出a₂，a₃，a₄，再求出數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$的通項公式，再去判斷增減性．

解答 解：第一步，計算：
根據(jù)已知條件，由于a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，
則a₂=$\frac{{a}_{1}}{3{a}_{1}+1}$=$\frac{1}{4}$，a₃=$\frac{{a}_{2}}{3{a}_{2}+1}$=$\frac{1}{7}$，a₄=$\frac{1}{10}$，
第二步，猜想：
數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，
第三步，證明：
因為${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，所以$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{3{a_n}+1}}{a_n}=\frac{1}{a_n}+$ 3．
因此可以判斷數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$是首項$\frac{1}{a_1}$=1，公差d=3的等差數(shù)列．
故數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$的通項公式為$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2．
且由此可以判斷出：
數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$是遞增數(shù)列，且各項均為正數(shù)．
所以數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，
故答案為：$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{10}$，遞減，3，1，3，3n-2，遞增，正數(shù)，遞減

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、數(shù)列的單調(diào)性、查了推理能力與計算能力，屬于中檔題