Question

16．若平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為（　�。�

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 設(shè)|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=m，根據(jù)題意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{1}{2}$m²，設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為θ，根據(jù)向量的夾角公式計算即可．

解答 解：設(shè)|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=m，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{1}{2}$m²，
設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為θ，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$m²+m²=$\frac{3}{2}$m²，
（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3m²，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow+\overrightarrow{a}|}$=$\frac{\frac{3}{2}{m}^{2}}{m•\sqrt{3}•m}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0°≤θ≤180°，
∴θ=30°，
故選：A

點評 本題考查了向量的數(shù)量積公式和向量的夾角公式，屬于中檔題．