Question

17．給出以下四個命題：
①若集合A={x，y}，B={0，x²}，A=B，則x=1，y=0；
②若函數f（x）的定義域為[0，2]，則函數f（2x）的定義域為[0，4]；
③函數f（x）=$\frac{1}{x}$的單調遞減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）；
④已知集合P={a，b}，Q={-1，0，1}，則映射f：P→Q中滿足f（b）=0的映射共有3個．
其中正確的命題有①④（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析 由集合相等的概念求出x，y的值判斷①；由f（x）的定義域求出f（2x）的定義域判斷②；由函數單調區(qū)間的表示法判斷③；求出滿足條件的映射個數判斷④．

解答 解：①，若集合A={x，y}，B={0，x²}，A=B，則$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{{x}^{2}=y}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，故①正確；
②，若函數f（x）的定義域為[0，2]，則由0≤2x≤2，得0≤x≤1，∴函數f（2x）的定義域為[0，1]，故②錯誤；
③，函數f（x）=$\frac{1}{x}$的單調遞減區(qū)間是（-∞，0），（0，+∞），故③錯誤；
④，已知集合P={a，b}，Q={-1，0，1}，則映射f：P→Q中滿足f（b）=0的映射為：
f（a）=-1，f（b）=0；f（a）=0，f（b）=0；f（a）=1，f（b）=0共有3個，故④正確．
故答案為：①④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了與抽象函數有關的函數定義域的求法，考查函數單調性的性質，考查映射的概念，是中檔題．