Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F(xiàn)為線段BC₁的中點(diǎn)，E為線段A₁C₁上的動(dòng)點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：
①存在點(diǎn)E，使EF∥BD；
②存在點(diǎn)E，使EF⊥平面AB₁C₁D；
③EF與AD₁所成的角不可能等于60°；
④三棱錐B₁-ACE的體積隨動(dòng)點(diǎn)E而變化．
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)正方體的邊長為1，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD₁所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間線面平行與垂直的判定及性質(zhì)定理、向量的夾角判斷異面直線所成角、三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：設(shè)正方體的邊長為1，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD₁所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），點(diǎn)F(

1

2

，1，

1

2

)，
則

DE

=

DC1

+

C1E

，而

C1E

=λ

C1A1

(0≤λ≤1)，

DC1

=(0，1，1)，

C1A1

=(1，-1，0)，
∴

C1E

=(λ，-λ，0)，因此

DE

=(λ，1-λ，1)，
∴E=（λ，1-λ，1），∴

EF

=(

1

2

-λ，λ，-

1

2

)，
對于①而言就是否存在實(shí)數(shù)λ，使EF∥BD，而

BD

=（-1，-1，0），

-1

1 2 -λ

=

-1

λ

=

0

- 1 2

，此即

-1

λ

=0，

-2

1-2λ

=0，這樣的λ不存在，∴①錯(cuò)誤；
對于②而言就是否存在實(shí)數(shù)λ，使EF⊥平面AB₁C₁D，首先我們在平面AB₁C₁D內(nèi)任意找到兩條相交直線的方向向量，不妨就找

C1B1

和

C1D

，
∴

EF • C1B1 =0 EF • C1D =0

，于是

1 2 -λ=0 1 2 -λ=0

⇒λ=

1

2

，即就是當(dāng)E為C₁A₁的中點(diǎn)的時(shí)候，∴②正確；
同理，對于③而言，還是判斷這樣的實(shí)數(shù)λ是否存在，

AD1

=(-1，0，1)

EF

=(

1

2

-λ，λ，-

1

2

)，
設(shè)其夾角為θ，則cosθ=|

AD1 • EF

| AD1 |•| EF |

|=|

λ-1

2 × ( 1 2 -λ)2+λ2+ 1 4

|，
令θ=60°，此即|

λ-1

2 × ( 1 2 -λ)2+λ2+ 1 4

|=

1

2

，將上式平方解得λ=

1

2

，將λ回代原式結(jié)論成立，∴這樣的λ存在；③錯(cuò)誤；
對于④來說，E點(diǎn)無論在A₁C₁上怎樣移動(dòng)，底面△ACE的高不變，故而底面面積不變，三棱錐的高為定值，所以其體積不會(huì)隨著E點(diǎn)的變化而變化，故④錯(cuò)誤．
故答案為：②．

點(diǎn)評：本題考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用空間線面平行與垂直的判定及性質(zhì)定理、向量的夾角判斷異面直線所成角、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了空間想象能力，屬于難題．