Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2 5

5

，且A（0，1）是橢圓C的頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）作傾斜角為

π

4

的直線L，設以橢圓C的右焦點F為拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點，若直線L與拋物線E交于M、N兩點，若|MN|=8，求直線L方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可知，b=1，e=

c

a

=

2 5

5

，由此能示出橢圓C的方程．
（2）由（1）得拋物線E的方程為：y²=8x，設直線l的方程為y=x+m，由此利用根據(jù)判別式和橢圓弦長公式能求出直線方程．

解答： 解：（1）由題意可知，b=1，
∵e=

c

a

=

2 5

5

，即

c2

a2

=

a2-1

a2

=

4

5

，解得a²=5，
∴所以橢圓C的方程為：

x2

5

+y2=1．（4分）
（2）由（1）得橢圓C的坐標F（2，0）
∴拋物線E的方程為：y²=8x，…（6分）
設直線l的方程為y=x+m，
代入y²=8x，得x²+（2m-8）x+m²=0，
△=（2m-8）²-4m²=64-32m＞0，得m＜2，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=8-2m，x1x2=m2，
|MN|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

(8-2m)2-4m2

=8

2-m

，…（10分）
又|MN|=8，∴8

2-m

=8，
解得m=1滿足m＜2
所求直線方程為y=x+1．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．