Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓： 的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知與為平面內(nèi)的兩個定點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）6

【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率及點(diǎn)在橢圓上可求出a,b，寫出橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，消元得一元二次方程，求出弦長，再利用點(diǎn)到直線的距離求出高，即可寫出面積，利用換元法，求其最大值.

試題解析：

解：（1）∵，∴，

橢圓的方程為，

將代入得，∴，

∴橢圓的方程為．

（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立

消去，得，

設(shè)點(diǎn)， ，

有， ，

有，

點(diǎn) 到直線的距離為，

點(diǎn)到直線的距離為，

從而四邊形的面積（或）

令， ，

有 ，設(shè)函數(shù)， ，所以在上單調(diào)遞增，

有，故，

所以當(dāng)，即時，四邊形面積的最大值為6．