Question

【題目】已知某條地鐵線(xiàn)路通車(chē)后，地鐵的發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為t（單位：分鐘），并且．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，地鐵載客量與發(fā)車(chē)時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)，地鐵為滿(mǎn)載狀態(tài)，載客量為450人；當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為258人，記地鐵載客量為（單位：人）．

（1）求的解析式，并求當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，地鐵的載客量．

（2）若該線(xiàn)路每分鐘的利潤(rùn)為（單位：元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線(xiàn)路每分鐘的利潤(rùn)最大？

Answer 1

【答案】（1），載客量為375人，（2）15分鐘

【解析】

(1)根據(jù)題設(shè)設(shè)出的表達(dá)式，根據(jù)求出的值，即可得出的解析式，求出即可得出發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，地鐵的載客量；

(2)由的解析式得出的解析式，利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及反比例函數(shù)的性質(zhì)得出的單調(diào)性，比較兩段的最大值，即可得出線(xiàn)路每分鐘的利潤(rùn)最大時(shí)，發(fā)車(chē)時(shí)間間隔.

（1）由題意知（k為常數(shù)）．

因?yàn)?/span>，得，

所以

所以，即當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，地鐵的載客量為375人．

（2）由可得

當(dāng)時(shí)，，

任取，且，

則．

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以在上為增函數(shù)，最大值為．

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為15分鐘時(shí)，該線(xiàn)路每分鐘的利潤(rùn)最大，最大值為80元．