Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-mx（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線垂直于y軸．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）設(shè)不等式f（x）≥ax+1的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意求導(dǎo)，并令f′（0）=e⁰-m=0，從而求出m，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求f（x）的最小值；
（Ⅱ）不等式f（x）≥ax+1的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P可化為f（x）≥ax+1在[0，2]上恒成立，令F（x）=e^x-x-ax-1，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，f′（x）=e^x-m，
則f′（0）=e⁰-m=0，故m=1；
故f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1，
故f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在[0，+∞）上是增函數(shù)，
故f（x）的最小值為f（0）=1；
（Ⅱ）∵f（x）=e^x-x，
∴不等式f（x）≥ax+1可化為e^x-x-ax-1≥0，
又∵不等式f（x）≥ax+1的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，
∴e^x-x-ax-1≥0在[0，2]上恒成立，
令F（x）=e^x-x-ax-1，
則F′（x）=e^x-（1+a），
若a≤0，則F′（x）=e^x-（1+a）≥0，x∈[0，2]；
故F（x）=e^x-x-ax-1在[0，2]上是增函數(shù)；
故F（0）=1-0-1=0≥0，顯然成立，
當(dāng)a＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）=e^x-（1+a）＜0，x∈[0，ln（1+a）]；
故在（0，ln（1+a）]上，
F（x）＜F（0）=0；
故e^x-x-ax-1≥0在[0，2]上不能恒成立；
綜上所述，a≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問題的處理方法，注意到F（0）=0可以簡(jiǎn)化化簡(jiǎn)運(yùn)算，屬于難題．